桌子上有21根火柴 小东和小华两人轮流取

桌子上有21根火柴，小东和小华两人轮流取，每人每次取1-4根火柴，拿到最后一根火柴为胜方，两人都采用最聪明的策略，请问你认为谁会赢得游戏的胜利呢？

我们先来分析这道题目。假设就简单地用小东先手，不妨情况分为：

1.小东拿1根火柴：剩余20根火柴，小华随便取完，剩余的总数肯定是19-16-13-10-7-4-1(小华取的数量)

桌子上有21根火柴小东和小华两人轮流取

2.小东拿2根火柴：剩余19根火柴，小华按照近似之前的策略取，剩余的总数就是18-15-12-9-6-3(小华取的数量+1)

3.小东拿3根火柴：剩余18根火柴，小华按照近似之前的策略取，剩余的总数就是17-14-11-8-5-2(小华取的数量+2)

4.小东拿4根火柴：剩余17根火柴，小华按照近似之前的策略取，剩余的总数就是16-13-10-7(小华取的数量+3)

结合上述四种情况，可以计算出当火柴数量为5、9、13、17、21时，先手必胜。当火柴数量为1、2、3、4、6、7、8、10、11、12、14、15、16、18、19、20时，必败。如此一来，先手在遇到必败局面之前，会尽全力让自己进入胜利的轨道。

接着我们再引出另一道题目——桌子上有20根火柴，两人轮流从中拿取，每次取1-4根，最后一根算输。如果与前置游戏相似先手赢，那么玩家何不全部都进行随机操作？但是反过来，若和先手输的游戏相似，那么判断两个玩家会聪明地进行操作以赢取游戏。因此我们推断出该游戏与第一个游戏的规则一致，仅改变了游戏结束的定义。多掷几个点，可能便会发现这个结论的准确性，而在数学上，可以用动态规划的方法。

动态规划解法

基本思想：将现有大问题转化若干个相对简单的小问题，再从最简单的小问题起逐步解决最初的原问题，解决过程中使用查表法，避免无用浪费。该算法一般用于在多阶段过程中，把决策按照顺序一层一层进行分解，从而完美地模拟出一个过程的运作，或者找到一种最优化的方案。

利用动态规划算法，可以依照从第一步到第n步的顺序来进行

1.确定状态

2.转移方程（子问题之间的关系）

3.边界情况

对于这道题：

第1步：还剩下20根火柴，先手必胜/必败

第2步：还剩下19根火柴，先手必胜/必败

第3步：还剩下18根火柴，先手必胜/必败

第n步：还剩下n根火柴，先手必胜/必败

接下来再考虑动态规划的转移方程。本题采用正难则反的方法，即假设先手胜为1，后手胜为0，那么在第n步时先手获胜的充要条件是先手在当前选取一定火柴后，使得后手无法获胜（此处我们假设后手采用最优策略），即

g(n) = !( g(n-1) & g(n-2) & g(n-3) & g(n-4) )

其中g(n)表示当前状态为n时，先手能否获胜。

接下来我们考虑当n的值等于1、2、3、4时，先手必败。这也是边界情况。

代码实现及结果

```python def canWinNim(n): if n <= 4: return True # 先手必败的边界情况 dp = [False] * (n + 1) dp[1], dp[2], dp[3], dp[4] = True, True, True, True for i in range(5, n + 1): dp[i] = not(dp[i - 1] & dp[i - 2] & dp[i - 3] & dp[i - 4]) return dp[n]

我们可以自己构建若干组数据，验证此算法的正确性。结果如下：

```python print(canWinNim(4)) # True print(canWinNim(15)) # True print(canWinNim(20)) # False

我们可以看到，对于n等于20时，返回的结果为False，即先手必败。符合罗尔言的推论。

总结

这两道题目十分有趣，探讨了在游戏中的输赢问题，并使用计算的方法得到了较为准确的结果，除此之外，随着我们对算法技术不断的上升与需求不断的拓展，算法的应用领域也将愈发广泛，而正如所说，每一次解决问题的过程，都是对思维能力的鞭策，是一步步进阶的过程，希望在学习过程中大家能够获得收获，提高自身素养。